himpunan dalam matematika

1. Pengertian Himpunan

Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat/karakter.

Kumpulan dari sebatang pensil, sebuah kursi dan setangkai bunga membentuk sebuah himpunan. Ketiga benda tersebut berupa benda kongkret, namun tidak memiliki kesamaan sifat. Benda-benda dalam suatu himpunan harus terdefinisi dengan jelas, well defined, artinya dapat dibedakan apakah suatu benda termasuk ataupun tidak dalam himpunan tersebut. Sebagai contoh, kumpulan semua bilangan genap membentuk sebuah himpunan, sebab syarat keanggotaannya terdefinisi dengan jelas.

Kumpulan orang-orang yang pandai tidak merupakan himpunan sebab sifat “pandai” tidak dapat didefinisikan dengan tepat. Akibatnya tidak dapat ditentukan secara pasti apakah seseorang guru matematika termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak. Kumpulan bunga yang harum juga bukan merupakan himpunan sebab penentuan harum tidaknya suatu bunga bersifat subjektif, maksudnya bunga yang dikategorikan harum oleh seseorang belum tentu dianggap harum bagi orang lain. Kumpulan lain bukan merupakan himpunan, misalnya

a. Kumpulan makanan enak,

b. Kumpulan wanita cantik, dan

c. Kumpulan lukisan indah.

Nama suatu himpunan biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, dan X. Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil seperti a, b, c, x, dan y. Misalnya H adalah himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin maka benda-benda yang termasuk dalam himpunan H adalah a, i, u, e, dan o. Benda-benda yang masuk dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan tersebut. Notasi untuk menyatakan anggota suatu himpunan adalah “Δ sedangkan notasi untuk bukan anggota adalah “Ï”. Dengan demikian a Î H, iÎH, u Î H, e Î H, dan o Î H sedangkan b Ï H, c Ï H dan d Ï H. Istilah anggota yang digunakan di atas dapat diganti dengan istilah elemen atau unsur.

Dalam menyatakan suatu himpunan ada tiga cara, yakni dengan kalimat, dengan cara mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan. Cara mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota-anggotanya di dalam tanda tabulasi { } dimana antar anggota dibatasi dengan tanda koma. Sebagai contoh himpunan H = { a, i, u, e, o } menyatakan himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin.

Himpunan X yang anggota-anggotanya memenuhi sifat P dinotasikan sebagai

X = { x | x bersifat P }.

Notasi ini disebut notasi pembentuk himpunan. Contoh dari notasi ini adalah H = { x | x adalah satu dari lima huruf hidup dalam alfabet Latin}. Tanda garis tegak “|” dapat diganti dengan tanda garis miring “ / ”, tanda bagi “ : “ atau tanda titik-koma “ ; “. Dalam buku matematika SMP tanda yang digunakan adalah tanda tegak “ | ”.

Untuk memperjelas tentang berbagai cara menyatakan himpunan, perhatikan tiga contoh berikut yang menyatakan himpunan yang sama.

a. Himpunan semua bilangan genap positif.

b. { 2, 4, 6, 8, … }

c. { x | x = 2 n , n adalah bilangan asli}.

Masing-masing cara dalam menyatakan himpunan mempunyai kelebihan dan kelemahan masing-masing. Misalnya kelebihan cara mendaftar adalah apabila digunakan untuk himpunan yang sedikit anggotanya sedangkan kelemahannya adalah apabila digunakan untuk menulis himpunan yang anggota-anggotanya tidak berpola dan tidak mungkin didaftar semuanya. Sebagai contoh himpunan semua Warga Negara Indonesia tidak efisien bila ditulis dengan cara mendaftar.

Jenis himpunan dapat dibedakan berdasarkan banyaknya anggota himpunan tersebut. Himpunan dikatakan berhingga apabila mempunyai m anggota berbeda, dimana m suatu bilangan cacah. Selain itu disebut himpunan tak berhingga. Himpunan semua huruf dalam alfabet Latin, himpunan bilangan prima yang genap, dan himpunan semua bilangan asli kurang dari 1.000.000 adalah tiga contoh himpunan berhingga. Sedangkan himpunan bilangan ganjil dan himpunan bilangan real termasuk himpunan tak berhingga. Notasi n(H) digunakan untuk menyatakan bilangan kardinal himpunan H. Notasi tersebut adakalanya ditulis |H|. Jadi apabila H = {a, i, u, e,o} maka n(H) = 5, dan bila K = { 0 } maka n(K) = 1.

Misalkan himpunan I = { x | x Î [0, 1] } dan A adalah himpunan semua bilangan asli. Keduanya merupakan himpunan tak berhingga. Dalam hal ini n(I) = ¥ dan juga n(A) = ¥. Himpunan A merupakan himpunan terhitung (countable) karena kita dapat mengurutkan satu persatu anggota-anggotanya. Sedangkan himpunan I merupakan himpunan tak terhitung (uncountable). Akibatnya penulisan lambang ¥ di atas mempunyai kelemahan karena belum membedakan himpunan terhitung dan tak terhitung. Seorang matematikawan, Cantor, memberikan notasi yang lebih baik yakni n(A) = À₀ (dibaca aleph-nol) sedangkan n(I) = c. Simbol À (dibaca aleph ) merupakan huruf pertama dalam alfabet Hebrew.

Adakalanya suatu himpunan tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan seperti ini disebut sebagai himpunan kosong yang dinotasikan dengan { } atau simbol Æ. Tanda Æ merupakan huruf phi dalam alfabet Yunani. Contoh-contoh himpunan kosong adalah:

a. Himpunan semua anak Indonesia yang tingginya lebih dari 3 meter.

b. Himpunan semua bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

c. { x | x² + 1 = 0, x adalah bilangan bulat}

d. { x | x² - 9 = 0, 2x - 4 = 0}

e. { x | x ¹ x }

f. H = { x | x Ï H}
Sifat Unsur-unsur himpunan

Sifat keterikatan tertentu benda-benda didalam suatu himpunan disebut juga sifat himpunan, adapun sifat dari himpunan adalah

o  Objek di dalam suatu himpunan bisa dibedakan antara obyek satu dengan yang lainnya, misalnya himpunan hewan dalam hutan, dim ana anggotanya bisa harimau, jerapah, gajah dan sebagainya.

o  Unsur yang berada di dalam suatu himpunan dapat dibedakan dengan unsur yang tidak berada didalam ruangan.misalnya himpunan benda dalam aquarium bisa dibedakan dengan benda yang berada diluar aquarium, misalnya kursi yang ada diluar.

1.         Ciri-ciri Himpunan

a.    Adanya benda yang merupakan suatu anggota himpunan

b.    Adanya sejumlah unsur pembentuk himpunan

c.    Adanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan.

2.         Lambang Himpunan

Suatu himpunan dapat ditulis dengan lambang kurung kurawal pembuka ({ ) dan diakhiri dengan kurung kurawal penutup( } ). Himpunan selalu di beri nama dengan huruf kapital (huruf besar). Unsur-unsur yang termasuk dalam objek himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal.
Contohnya : himpunan X adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20, ditulis X = {bilangan prima kurang dari 20}.

3.         Menyatakan Himpunan

 Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan:

a.    Mendaftar adalah suatu metode yang digunakan dengan cara menyebutkan anggotanya atu persatu. Contohnya X bilangan kurang dari 10.ditulis A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9)

b.    Menggunakan notasi pembentukan himpunan,yaitu dengan menyatakan suatu himpunan dengan variabel dan menyatakan sifat-sifatnya. Contohnya B adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan genap. Ditulis B = {x/x adalah bilangan genap}

c.    Dengan menggunakan kata-kata yaitu dengan cara merangkai kata-kata yang mengambarkan suatu bilangan. Contohnya A adalah himpunan yang anggotanya adalah hewan berkaki empat. Ditulis A = {hewan kaki empat}

4.         Anggota Himpunan

Anggota himpuna disebut juga elemen himpunan. Anggota atau elemen himpunan adalah semua unsur yang terdapat di dalam suatu himpunan. Anggota suatu himpunan ditulis dengan menggunakan simbol “E”. Sedang kan yang bukan dilambangkan dengan E coret. Contohnya salah satu anggota atau elemen kurang dari 5 adalah {1,2,3,4}.

B2.   JENIS-JENIS HIMPUNAN

1.         himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.

2.         Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}

3.         Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.

4.         Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A=B

5.         Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
Contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A jumlahnya sama dengan B

6.         Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contohnya:
A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli}
S = {bilangan cacah}
S = {bilangan ganjil kurang dari 10}

7.         Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.
contohnya
B = {a,c,e}
A = {a,b,c,d,e}
jadi B bagian dari A.

8.         Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.
Contohnya
A = (a,b,c,d,e}
maka a elemen A

9.         Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.
Contohnya
A = {d,e,f}
B = {g,h,i}
maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B

10.     bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut
contohnya
A = {a,b,c,d}
e bukan anggota himpunan A.

11.     Himpunan biolangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya
contoh
K = {0,1,2,3,4,5}

12.     Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.
Contohnya
D = {1,2,3,4,}

13.     himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua
contohnya
G = {2,4,6,8,10}

14.     himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
contohnya
K = {1,3,5,7}

15.     himpunan blangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor
contohnya
Y = {2,3,,5,7}

16.     himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua. Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)

3.     DIAGRAM VENN

Diagram venn adalah suatu gambar yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan dalam himpunan semesta. Ciri dari diagram venn adalah adanya bilangan asli dan himpunan semesta. Contohnya:

Buat diagram venn jika
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { 1, 4, 6, 7 }
B = { 2, 4, 5, 8 }

4.     OPERASI pada HIMPUNAN

1.         Irisan

Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya.

Contohnya: Irisan himpunan A dan B
A n B = { x | x A dan B }
Jika A = { 2, 7, 9, 11 }
Jika B = { 1, 5, 9, 10}
Maka A n B = 9

Atau

2.         Gabungan

Gabungan adalah dua himpunan yang anggotanya hanya bilangan itu saja misalnya anggota bilangan A saja, anggota bilangan B saja dan anggota A, B keduanya.

Contohnya: A u B = { x A, atau x B}
Jika A = { 5, 7, 9, 11 )
Jika B = { 6, 7, 8, 9, 10 }
A u B = { 5, 6, 7, 8, 9 10, 11 )

3.         Sifat-sifat operasi himpunan

         a. Komutatif

            1)   Irisan,     =>        Berlaku:                       A n B = B n A

            2)   Gabungan,          =>        Berlaku:                       A u B = B u A

b. Asosiatif

1)   Irisan tiga himpunan,      =>        (A n B) n C = A n ( B n C)

2)   Gabungan tiga himpunan,           =>        (A u B) u C = A u ( B u C)

c.    Distributif

1)   Irisan,     =>        A n ( B u C ) = (A n B) u (A n C)

2)   Gabungan,          =>        A u (B n C) = (A u B) n (A u C)

Read More

Metode Grafik Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Metode Grafik Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jadi Anda harus mencari titik potong garis tersebut di koordinat y dengan membuat x = 0 yang akan berpotongan di (0, y), dan mencari titik potong garis tersebut di koordinat x dengan membuat y = 0 yang akan berpotongan di (x, 0). Kemudian menarik kedua garis tersebut sehingga berpotongan di suatu titik koordianat (x,y). Untuk memantapkan pemahaman Anda silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan

linear dua variabel x + y = 4 dan x + 2y = 6 jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian:

Seperti yang sudah dijelaskan di atas, Anda harus mencari koordinat titik potong di x dan y pada persamaan x + y = 4 dan x + 2y = 6. Sekarang kita cari titik potong di x dan y persamaan x + y = 4, yakni:

jika x = 0, maka:

x + y = 4

0 + y = 4

y = 4 => titik potong di y (0, 4)

jika y = 0, maka:

x + y = 4

x + 0 = 4

x = 4, => titik potong di x (4, 0)

Jadi titik potong persamaan x + y = 4 adalah (0,4) dan (4,0)

Kita cari titik potong di x dan y persamaan x + 2y = 6, yakni:

jika x = 0, maka:

x + 2y = 4

0 + 2y = 4

y = 2 => titik potong di y (0, 2)

jika y = 0, maka:

x + 2y = 6

x + 0 = 6

x = 6, => titik potong di x (6, 0)

Jadi titik potong persamaan x + 2y = 6 adalah (0,2) dan (6,0)

Sekarang buat garis dari kedua persamaan tersebut berdasarkan titik potong, yakni seperti gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar grafik sistem persamaan dari x + y = 4 dan x + 2y = 6 di atas tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah (3, 1). Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 4 dan x + 2y = 6 adalah {(3, 1)}.

Nah penjelasan di atas merupakan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel jika kedua garis itu berpotongan di suatu titik koordinat. Bagaimana kalau kedua garis tersebut tidak pernah berpotongan?

Jika garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik tertentu maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan  kosong. Berikut Mafia Online berikan contoh soal sistem persamaan linear dua variabel yang menghasilkan penyelesaian berupa himpunan kosong.

Contoh Soal 2

Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan

linear dua variabel x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian:

Sekarang kita cari titik potong di x dan y persamaan x + 2y = 2, yakni:

jika x = 0, maka:

x + 2y = 2

0 + y = 1

y = 1 => titik potong di y (0, 1)

jika y = 0, maka:

x + 2y = 2

x + 0 = 2

x = 2, => titik potong di x (2, 0)

Jadi titik potong persamaan x + 2y = 2 adalah (0,1) dan (2,0)

Kita cari titik potong di x dan y persamaan 2x + 4y = 8, yakni:

jika x = 0, maka:

2x + 4y = 8

0 + 4y = 8

y = 2 => titik potong di y (0, 2)

jika y = 0, maka:

2x + 4y = 8

2x + 0 = 8

x = 4, => titik potong di x (4, 0)

Jadi titik potong persamaan 2x + 4y =8 adalah (0,2) dan (4,0)

Sekarang buat garis dari kedua persamaan tersebut berdasarkan titik potong, yakni seperti gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar grafik sistem persamaan dari x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 di atas tampak bahwa kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan. Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 adalah himpunan kosong { }.

Kita akan mudah mengetahui apakah suatu sistem persamaan linear dua variabel tersebut memiliki himpunan penyelesaian atau tidak yaitu dengan cara melihat koefesien dari variabel-variabel kedua persamaan. Jika koefesiaen variabel-variabel persamaan merupakan kelipatan dari persamaan yang satunya, sudah dipastikan bahwa sistem persamaan tersebut tidak memiliki suatu penyelesaian atau penyelesaiannya berupa himpunan kosong. Untuk contoh soal silahkan simak contoh soal 2 di atas.

Pada contoh soal 2 merupakan sistem persamaan linear dua variabel yakni:

x + 2y = 2 . . .  persamaan 1

2x + 4y = 8 . . persamaan 2

Perhatikan koefisien-koefisien pada variabel x dan y. Koefisien variabel x dan y pada persamaan 2 meruapakan kelipatan dari koefisien variabel x dan y pada persamaan 1. Contoh lain sistem persamaan linear dua variabel yang himpunan penyelesaiannya berupa himpunan kosong yakni:

a) x + y = 4 dan 2x + 2y = 6

b) x – 3y = 3 dan 2x – 6y = 6

Silahkan Anda buktikan dengan metode grafik bahwa kedua sistem persamaan linear dua variabel tersebut himpunan penyelesaiannya berupa himpunan kosong.

“Kelemahan dari metode grafik adalah Anda akan kesulitan menentukan himpunan penyelesaian kedua garis tersebut berpotongan di koordinat berupa bilangan pecahan”. Misalnya contoh soal berikut, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel 7x + 5y = 11 dan 21x – 10y = 3 jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Jika Anda mengguanakan metode grafik maka Anda akan kesulitan menentukan himpunan penyelesaiannya karena himpunan penyelesaiannya berupa bilangan pecahan. Oleh karena itu kita gunakan alternatif yang kedua untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel tersebut yakni dengan metode eliminasi. Bagaimana metode eliminasi tersebut?

Read More