himpunan dalam matematika

1. Pengertian Himpunan

Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat/karakter.

Kumpulan dari sebatang pensil, sebuah kursi dan setangkai bunga membentuk sebuah himpunan. Ketiga benda tersebut berupa benda kongkret, namun tidak memiliki kesamaan sifat. Benda-benda dalam suatu himpunan harus terdefinisi dengan jelas, well defined, artinya dapat dibedakan apakah suatu benda termasuk ataupun tidak dalam himpunan tersebut. Sebagai contoh, kumpulan semua bilangan genap membentuk sebuah himpunan, sebab syarat keanggotaannya terdefinisi dengan jelas.

Kumpulan orang-orang yang pandai tidak merupakan himpunan sebab sifat “pandai” tidak dapat didefinisikan dengan tepat. Akibatnya tidak dapat ditentukan secara pasti apakah seseorang guru matematika termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak. Kumpulan bunga yang harum juga bukan merupakan himpunan sebab penentuan harum tidaknya suatu bunga bersifat subjektif, maksudnya bunga yang dikategorikan harum oleh seseorang belum tentu dianggap harum bagi orang lain. Kumpulan lain bukan merupakan himpunan, misalnya

a. Kumpulan makanan enak,

b. Kumpulan wanita cantik, dan

c. Kumpulan lukisan indah.

Nama suatu himpunan biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, dan X. Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil seperti a, b, c, x, dan y. Misalnya H adalah himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin maka benda-benda yang termasuk dalam himpunan H adalah a, i, u, e, dan o. Benda-benda yang masuk dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan tersebut. Notasi untuk menyatakan anggota suatu himpunan adalah “Δ sedangkan notasi untuk bukan anggota adalah “Ï”. Dengan demikian a Î H, iÎH, u Î H, e Î H, dan o Î H sedangkan b Ï H, c Ï H dan d Ï H. Istilah anggota yang digunakan di atas dapat diganti dengan istilah elemen atau unsur.

Dalam menyatakan suatu himpunan ada tiga cara, yakni dengan kalimat, dengan cara mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan. Cara mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota-anggotanya di dalam tanda tabulasi { } dimana antar anggota dibatasi dengan tanda koma. Sebagai contoh himpunan H = { a, i, u, e, o } menyatakan himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin.

Himpunan X yang anggota-anggotanya memenuhi sifat P dinotasikan sebagai

X = { x | x bersifat P }.

Notasi ini disebut notasi pembentuk himpunan. Contoh dari notasi ini adalah H = { x | x adalah satu dari lima huruf hidup dalam alfabet Latin}. Tanda garis tegak “|” dapat diganti dengan tanda garis miring “ / ”, tanda bagi “ : “ atau tanda titik-koma “ ; “. Dalam buku matematika SMP tanda yang digunakan adalah tanda tegak “ | ”.

Untuk memperjelas tentang berbagai cara menyatakan himpunan, perhatikan tiga contoh berikut yang menyatakan himpunan yang sama.

a. Himpunan semua bilangan genap positif.

b. { 2, 4, 6, 8, … }

c. { x | x = 2 n , n adalah bilangan asli}.

Masing-masing cara dalam menyatakan himpunan mempunyai kelebihan dan kelemahan masing-masing. Misalnya kelebihan cara mendaftar adalah apabila digunakan untuk himpunan yang sedikit anggotanya sedangkan kelemahannya adalah apabila digunakan untuk menulis himpunan yang anggota-anggotanya tidak berpola dan tidak mungkin didaftar semuanya. Sebagai contoh himpunan semua Warga Negara Indonesia tidak efisien bila ditulis dengan cara mendaftar.

Jenis himpunan dapat dibedakan berdasarkan banyaknya anggota himpunan tersebut. Himpunan dikatakan berhingga apabila mempunyai m anggota berbeda, dimana m suatu bilangan cacah. Selain itu disebut himpunan tak berhingga. Himpunan semua huruf dalam alfabet Latin, himpunan bilangan prima yang genap, dan himpunan semua bilangan asli kurang dari 1.000.000 adalah tiga contoh himpunan berhingga. Sedangkan himpunan bilangan ganjil dan himpunan bilangan real termasuk himpunan tak berhingga. Notasi n(H) digunakan untuk menyatakan bilangan kardinal himpunan H. Notasi tersebut adakalanya ditulis |H|. Jadi apabila H = {a, i, u, e,o} maka n(H) = 5, dan bila K = { 0 } maka n(K) = 1.

Misalkan himpunan I = { x | x Î [0, 1] } dan A adalah himpunan semua bilangan asli. Keduanya merupakan himpunan tak berhingga. Dalam hal ini n(I) = ¥ dan juga n(A) = ¥. Himpunan A merupakan himpunan terhitung (countable) karena kita dapat mengurutkan satu persatu anggota-anggotanya. Sedangkan himpunan I merupakan himpunan tak terhitung (uncountable). Akibatnya penulisan lambang ¥ di atas mempunyai kelemahan karena belum membedakan himpunan terhitung dan tak terhitung. Seorang matematikawan, Cantor, memberikan notasi yang lebih baik yakni n(A) = À₀ (dibaca aleph-nol) sedangkan n(I) = c. Simbol À (dibaca aleph ) merupakan huruf pertama dalam alfabet Hebrew.

Adakalanya suatu himpunan tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan seperti ini disebut sebagai himpunan kosong yang dinotasikan dengan { } atau simbol Æ. Tanda Æ merupakan huruf phi dalam alfabet Yunani. Contoh-contoh himpunan kosong adalah:

a. Himpunan semua anak Indonesia yang tingginya lebih dari 3 meter.

b. Himpunan semua bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

c. { x | x² + 1 = 0, x adalah bilangan bulat}

d. { x | x² - 9 = 0, 2x - 4 = 0}

e. { x | x ¹ x }

f. H = { x | x Ï H}
Sifat Unsur-unsur himpunan

Sifat keterikatan tertentu benda-benda didalam suatu himpunan disebut juga sifat himpunan, adapun sifat dari himpunan adalah

o  Objek di dalam suatu himpunan bisa dibedakan antara obyek satu dengan yang lainnya, misalnya himpunan hewan dalam hutan, dim ana anggotanya bisa harimau, jerapah, gajah dan sebagainya.

o  Unsur yang berada di dalam suatu himpunan dapat dibedakan dengan unsur yang tidak berada didalam ruangan.misalnya himpunan benda dalam aquarium bisa dibedakan dengan benda yang berada diluar aquarium, misalnya kursi yang ada diluar.

1.         Ciri-ciri Himpunan

a.    Adanya benda yang merupakan suatu anggota himpunan

b.    Adanya sejumlah unsur pembentuk himpunan

c.    Adanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan.

2.         Lambang Himpunan

Suatu himpunan dapat ditulis dengan lambang kurung kurawal pembuka ({ ) dan diakhiri dengan kurung kurawal penutup( } ). Himpunan selalu di beri nama dengan huruf kapital (huruf besar). Unsur-unsur yang termasuk dalam objek himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal.
Contohnya : himpunan X adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20, ditulis X = {bilangan prima kurang dari 20}.

3.         Menyatakan Himpunan

 Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan:

a.    Mendaftar adalah suatu metode yang digunakan dengan cara menyebutkan anggotanya atu persatu. Contohnya X bilangan kurang dari 10.ditulis A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9)

b.    Menggunakan notasi pembentukan himpunan,yaitu dengan menyatakan suatu himpunan dengan variabel dan menyatakan sifat-sifatnya. Contohnya B adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan genap. Ditulis B = {x/x adalah bilangan genap}

c.    Dengan menggunakan kata-kata yaitu dengan cara merangkai kata-kata yang mengambarkan suatu bilangan. Contohnya A adalah himpunan yang anggotanya adalah hewan berkaki empat. Ditulis A = {hewan kaki empat}

4.         Anggota Himpunan

Anggota himpuna disebut juga elemen himpunan. Anggota atau elemen himpunan adalah semua unsur yang terdapat di dalam suatu himpunan. Anggota suatu himpunan ditulis dengan menggunakan simbol “E”. Sedang kan yang bukan dilambangkan dengan E coret. Contohnya salah satu anggota atau elemen kurang dari 5 adalah {1,2,3,4}.

B2.   JENIS-JENIS HIMPUNAN

1.         himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.

2.         Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}

3.         Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.

4.         Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A=B

5.         Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
Contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A jumlahnya sama dengan B

6.         Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contohnya:
A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli}
S = {bilangan cacah}
S = {bilangan ganjil kurang dari 10}

7.         Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.
contohnya
B = {a,c,e}
A = {a,b,c,d,e}
jadi B bagian dari A.

8.         Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.
Contohnya
A = (a,b,c,d,e}
maka a elemen A

9.         Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.
Contohnya
A = {d,e,f}
B = {g,h,i}
maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B

10.     bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut
contohnya
A = {a,b,c,d}
e bukan anggota himpunan A.

11.     Himpunan biolangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya
contoh
K = {0,1,2,3,4,5}

12.     Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.
Contohnya
D = {1,2,3,4,}

13.     himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua
contohnya
G = {2,4,6,8,10}

14.     himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
contohnya
K = {1,3,5,7}

15.     himpunan blangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor
contohnya
Y = {2,3,,5,7}

16.     himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua. Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)

3.     DIAGRAM VENN

Diagram venn adalah suatu gambar yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan dalam himpunan semesta. Ciri dari diagram venn adalah adanya bilangan asli dan himpunan semesta. Contohnya:

Buat diagram venn jika
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { 1, 4, 6, 7 }
B = { 2, 4, 5, 8 }

4.     OPERASI pada HIMPUNAN

1.         Irisan

Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya.

Contohnya: Irisan himpunan A dan B
A n B = { x | x A dan B }
Jika A = { 2, 7, 9, 11 }
Jika B = { 1, 5, 9, 10}
Maka A n B = 9

Atau

2.         Gabungan

Gabungan adalah dua himpunan yang anggotanya hanya bilangan itu saja misalnya anggota bilangan A saja, anggota bilangan B saja dan anggota A, B keduanya.

Contohnya: A u B = { x A, atau x B}
Jika A = { 5, 7, 9, 11 )
Jika B = { 6, 7, 8, 9, 10 }
A u B = { 5, 6, 7, 8, 9 10, 11 )

3.         Sifat-sifat operasi himpunan

         a. Komutatif

            1)   Irisan,     =>        Berlaku:                       A n B = B n A

            2)   Gabungan,          =>        Berlaku:                       A u B = B u A

b. Asosiatif

1)   Irisan tiga himpunan,      =>        (A n B) n C = A n ( B n C)

2)   Gabungan tiga himpunan,           =>        (A u B) u C = A u ( B u C)

c.    Distributif

1)   Irisan,     =>        A n ( B u C ) = (A n B) u (A n C)

2)   Gabungan,          =>        A u (B n C) = (A u B) n (A u C)

Read More

Metode Grafik Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Metode Grafik Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jadi Anda harus mencari titik potong garis tersebut di koordinat y dengan membuat x = 0 yang akan berpotongan di (0, y), dan mencari titik potong garis tersebut di koordinat x dengan membuat y = 0 yang akan berpotongan di (x, 0). Kemudian menarik kedua garis tersebut sehingga berpotongan di suatu titik koordianat (x,y). Untuk memantapkan pemahaman Anda silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan

linear dua variabel x + y = 4 dan x + 2y = 6 jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian:

Seperti yang sudah dijelaskan di atas, Anda harus mencari koordinat titik potong di x dan y pada persamaan x + y = 4 dan x + 2y = 6. Sekarang kita cari titik potong di x dan y persamaan x + y = 4, yakni:

jika x = 0, maka:

x + y = 4

0 + y = 4

y = 4 => titik potong di y (0, 4)

jika y = 0, maka:

x + y = 4

x + 0 = 4

x = 4, => titik potong di x (4, 0)

Jadi titik potong persamaan x + y = 4 adalah (0,4) dan (4,0)

Kita cari titik potong di x dan y persamaan x + 2y = 6, yakni:

jika x = 0, maka:

x + 2y = 4

0 + 2y = 4

y = 2 => titik potong di y (0, 2)

jika y = 0, maka:

x + 2y = 6

x + 0 = 6

x = 6, => titik potong di x (6, 0)

Jadi titik potong persamaan x + 2y = 6 adalah (0,2) dan (6,0)

Sekarang buat garis dari kedua persamaan tersebut berdasarkan titik potong, yakni seperti gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar grafik sistem persamaan dari x + y = 4 dan x + 2y = 6 di atas tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah (3, 1). Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 4 dan x + 2y = 6 adalah {(3, 1)}.

Nah penjelasan di atas merupakan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel jika kedua garis itu berpotongan di suatu titik koordinat. Bagaimana kalau kedua garis tersebut tidak pernah berpotongan?

Jika garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik tertentu maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan  kosong. Berikut Mafia Online berikan contoh soal sistem persamaan linear dua variabel yang menghasilkan penyelesaian berupa himpunan kosong.

Contoh Soal 2

Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan

linear dua variabel x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian:

Sekarang kita cari titik potong di x dan y persamaan x + 2y = 2, yakni:

jika x = 0, maka:

x + 2y = 2

0 + y = 1

y = 1 => titik potong di y (0, 1)

jika y = 0, maka:

x + 2y = 2

x + 0 = 2

x = 2, => titik potong di x (2, 0)

Jadi titik potong persamaan x + 2y = 2 adalah (0,1) dan (2,0)

Kita cari titik potong di x dan y persamaan 2x + 4y = 8, yakni:

jika x = 0, maka:

2x + 4y = 8

0 + 4y = 8

y = 2 => titik potong di y (0, 2)

jika y = 0, maka:

2x + 4y = 8

2x + 0 = 8

x = 4, => titik potong di x (4, 0)

Jadi titik potong persamaan 2x + 4y =8 adalah (0,2) dan (4,0)

Sekarang buat garis dari kedua persamaan tersebut berdasarkan titik potong, yakni seperti gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar grafik sistem persamaan dari x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 di atas tampak bahwa kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan. Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 adalah himpunan kosong { }.

Kita akan mudah mengetahui apakah suatu sistem persamaan linear dua variabel tersebut memiliki himpunan penyelesaian atau tidak yaitu dengan cara melihat koefesien dari variabel-variabel kedua persamaan. Jika koefesiaen variabel-variabel persamaan merupakan kelipatan dari persamaan yang satunya, sudah dipastikan bahwa sistem persamaan tersebut tidak memiliki suatu penyelesaian atau penyelesaiannya berupa himpunan kosong. Untuk contoh soal silahkan simak contoh soal 2 di atas.

Pada contoh soal 2 merupakan sistem persamaan linear dua variabel yakni:

x + 2y = 2 . . .  persamaan 1

2x + 4y = 8 . . persamaan 2

Perhatikan koefisien-koefisien pada variabel x dan y. Koefisien variabel x dan y pada persamaan 2 meruapakan kelipatan dari koefisien variabel x dan y pada persamaan 1. Contoh lain sistem persamaan linear dua variabel yang himpunan penyelesaiannya berupa himpunan kosong yakni:

a) x + y = 4 dan 2x + 2y = 6

b) x – 3y = 3 dan 2x – 6y = 6

Silahkan Anda buktikan dengan metode grafik bahwa kedua sistem persamaan linear dua variabel tersebut himpunan penyelesaiannya berupa himpunan kosong.

“Kelemahan dari metode grafik adalah Anda akan kesulitan menentukan himpunan penyelesaian kedua garis tersebut berpotongan di koordinat berupa bilangan pecahan”. Misalnya contoh soal berikut, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel 7x + 5y = 11 dan 21x – 10y = 3 jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Jika Anda mengguanakan metode grafik maka Anda akan kesulitan menentukan himpunan penyelesaiannya karena himpunan penyelesaiannya berupa bilangan pecahan. Oleh karena itu kita gunakan alternatif yang kedua untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel tersebut yakni dengan metode eliminasi. Bagaimana metode eliminasi tersebut?

Read More

Sang surya tersenyum menyapa , menyambut awal harimu, memberikan  harapan  tuk meraih mimpi indahmu, lapangkanlah hatimu, gapailah kebahagian yang engkau damba, tuk mengaplikasikannya menjadi nyata. selamat Pagi Anak-Anak bangsa.
:) :)
salam manusia setengah dewa #fals_mania

Read More

fungsi

matematika Materi yang dipelajari
 Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi
 Jenis- jenis fungsi
 Penggambaran fungsi Linear
 Penggambaran fungsi non linear
  - Penggal
  - Simetri
  - Perpanjangan
  - Asimtot
  - Faktorisasi
 Definisi
 Fungsi : suatu bentuk hubungan
matematis yang menyatakan hubungan
ketergantungan (hub. fungsional) antara
suatu variabel dengan variabel lain.
 y = a + bx
Independent variable
Koefisien var. x
Konstanta
Dependent
variable Jenis-jenis fungsi
Fungsi
F.Pangkat  F. Polinom
F. Linier
F. Kuadrat
F. Kubik
F. Bikuadrat

Fungsi rasional
Fungsi
irrasional
Fungsi non-aljabar
(transenden)
Fungsi aljabar
F. Eksponensial
F. Logaritmik
F. Trigonometrik
F. Hiperbolik
  Fungsi polinom : fungsi yang mengandung
banyak suku (polinom) dalam variabel
bebasnya.
   y = a0
+ a1x + a2x2 +…...+ anxn

 Fungsi Linear : fungsi polinom khusus
yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah pangkat satu (fungsi berderajat
satu).
   y = a0
+ a1x        a1 ≠ 0
  
Jenis-jenis fungsi  Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang
pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat dua, sering juga disebut fungsi
berderajat dua. 
  y = a0 + a1x + a2x2       a2 ≠ 0

 Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat
tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n
= bilangan nyata).
   y = a0 + a1x + a2x2 + …+ an-1xn-1 + anxn
  an ≠ 0
Jenis-jenis fungsi  Fungsi Pangkat : fungsi yang veriabel
bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata
bukan nol. 
  y = xn      n = bilangan nyata bukan nol.

 Fungsi eksponensial : fungsi yang variabel
bebasnya merupakan pangkat dari suatu
konstanta bukan nol. 
   y = nx 
  n > 0
Jenis-jenis fungsi  Fungsi logaritmik : fungsi balik (inverse) dari
fungsi eksponensial, variabel bebasnya
merupakan bilangan logaritmik. 
  y =
nlog x

 Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik :
fungsi yang variabel bebasnya merupakan
bilangan-bilangan goneometrik.
  persamaan trigonometrik   y = sin x   
  persamaan hiperbolik      y = arc cos x
Jenis-jenis fungsi  Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya :
fungsi eksplisit dan implisit

Jenis-jenis fungsi x
y
x
y
Linear
y = a0 + a1x
a0
Kemiringan = a1
(a)  (b)
0  0
Kuadratik
y = a0 + a1x + a2x2
a0
(Kasus a2
< 0)
Jenis-jenis fungsi x
y
x
y
(c)  (d)
0  0
Kubik
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

a0
Bujur sangkar hiperbolik
y = a / x
(a > 0)
Jenis-jenis fungsi x
y
x
y
(e)  (f)
0  0
Eksponen
y = bx
(b > 1)
Logaritma
y = logb x
Jenis-jenis fungsi Penyimpangan Eksponen
 xn
= x x x x…..x x


 Aturan I : xm x xn = xm+n 

Contoh : x3 x x4 = x7
 Aturan II : xm / xn = xm-n 
  Contoh : x4 / x3 = x
 Aturan III : x-n = 1/xn   (x ≠ 0)

n suku Penyimpangan Eksponen ©
 Aturan IV  : x0 = 1  (x ≠ 0)
  
 Aturan V   : x1/n  =
  
 Aturan VI  : (xm)n = xmn
 Aturan VII : xm x ym = (xy)m  Fungsi Dari Dua Atau Lebih
Variabel Bebas
 z = g (x, y)
 z = ax + by
 z = a0 + a1x + a2x2 + b1y + b2y2
 Fungsi g membuat peta dari suatu titik
dalam ruang dua dimensi, ke satu titik
pada garis ruas (titik dalam ruang satu
dimensi), seperti :
  dari titik (x1,y1) ke titik z1
   dari titik (x2, y2) ke titik z2 Fungsi Dari Dua Atau Lebih
Variabel Bebas
z
z1
z2
(x2, y2)
(x1, y1)
g
x2
x1
y1
y2
0
x
y Fungsi Dari Dua Atau Lebih
Variabel Bebas
x2
x1
y1
y2
x
y
z
(x2, y2, z2)
(x2, y2, z2) Penggal
 Penggal sebuah kurva adalah titik-titik
potong kurva tersebut pada sumbu-sumbu
koordinat. Penggal pada sumbu x dapat
dicari dengan memisalkan y = 0 (berlaku
sebaliknya).
 Contoh :
  y = 16 – 8x + x2

penggal pada sumbu x :  y = 0  x = 4
  penggal pada sumbu y :  x = 0  y = 16 Simetri
 Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap
sebuah garis apabila garis tersebut
berjarak sama terhadap kedua titik tadi
dan tegak lurus teradap segmen garis
yang menghubungkannya.
 Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap
titik ketiga apabila titik ketiga ini terletak
persis di tengah segmen garis yang
menghubungkan kedua titik tadi. Simetri
y  y  y
x  x  x
(x,y)  (x,y)
(x,y)
(x,-y)
(-x,y)
(-x,-y)
0  0  0
Titik (x, y) adalah simetrik terhadap titik :
(x, -y) sehubungan dengan sumbu x
(-x, y) sehubungan dengan sumbu y
(-x, -y) sehubungan dengan titik pangkal
 Simetri
y  y  y
x  x  x
(x,y)
(x,y)  (x,y)
(x,-y)
(-x,y)
(-x,-y)
0  0
Kurva dari suatu persamaan f (x, y) = 0 adalah simetrik terhadap :
Sumbu x jika f(x, y) = f(x, -y) = 0
Sumbu y jika f(x, y) = f(-x, y) = 0
Titik pangkal jika f(x, y) = f(-x, -y) = 0
 Perpanjangan
 Konsep perpanjangan  menjelaskan
apakah ujung-ujung sebuah kurva dapat
terus menerus diperpanjang sampai tak
terhingga (tidak terdapat batas
perpanjangan) ataukah hanya dapat
diperpanjang sampai nilai x atau y
tertentu.
 Coba selidiki apakah terdapat batas
perpanjangan bagi kurva yan dicerminkan
oleh persamaan :
  x2 – y2 – 25 = 0 dan x2 + y2 – 25 = 0 Asimtot
 Asimtot suatu kurva adalah sebuah garis
lurus yang jaraknya semakin dan semakin
dekat dengan salah satu ujung kurva
tersebut. 
 Jarak tersebut tidak akan menjadi nol.
 Tidak akan terjadi perpotongan antara
garis lurus dan kurva.
 Penyelidikan asimtot berguna untuk
mengetahui pola kelengkungan kurva
yang akan digambarkan x  x
x  x
y  y
y  y
y = k
x = k
y =
f(x)
y =
f(x)
y = - a - bx
y = - a - bx Faktorisasi
 Faktorisasi fungsi maksudnya ialah
menguraikan ruas utama fungsi tersebut
menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama
dari dua fungsi yang lebih kecil. 
 f(x, y) = g(x, y). h(x, y)
 Persamaan 2x2 – xy – y2 = 0
  faktorisasi persamaan di atas
menghasilkan : (x – y) (2x + y) = 0 TERIMAKASIH
SELAMAT BELAJAR

Read More

MAKALAH KEWARGANEGARAAN PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI UNIVERSITAS TRIBHUWANA TUNGGADEWI

MAKALAH KEWARGANEGARAAN

PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI

UNIVERSITAS TRIBHUWANA TUNGGADEWI

MALANG

DOSEN

RORO MERRY CHORNELIA WULANDARI S.Pd.MAP

DISUSUN OLEH:

1. DONI AYOMI

2. FUAD HASAN

3. KRISTIANUS KROSBI

4. OKTAVIANUS DONA

5. REFI KURNIA

TAHUN AJARAN 2014/2015

 

 

 

KATA PENGANTAR

 

 

Sebagai pedoman bahwa terselesaikannya makalah ini, saya mengucap syukur atas karunia terhadap Tuhan yang maha Esa, atas karunia dan Rahmatnya saya dapat menyelesaikan maakalah inni dengan tepat waktu deengan sesuai yang di harapkan.

Makalah ini di susun berdasarkan ketentuan yang telah dirancangg sesuai syarat standar pendidikan.  Saya juga mengucapkan terima kasih atas dosen yang memberiikan tugas ini sebagai didikan yang nantinya dapat mmembemtuk karakter saya.

Atas kekurangan kata-kata, penyampaian maupun penyusunan makalah ini saya mohon maaf . Untuk itu saya mengharapkan kritik  dan saran agar makalah ini dapat sempurna. Atas perhatiannya saya mengucapkan terima kasih.

 

 

 

                                                                                     Malang,2 oktober 2014

                                                                                                 

                                                                                                penulis

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Sepanjang sejarah manusia telah terjadi dan berkembang tata kehidupan dan penghidupan manusia agar tercapai ketentraman hidup. Baik buruknya peraturan-peraturan itu tergantung kepada peradaban manusia dari waktu ke waktu. Dalam keadaan-keadaan ini para pemikir menyibukkan diri untuk menggali dan mempelajari hakekat dan asas-asas dari peraturan-peraturan atau garis hukum serta mengkaji apa gerangan dan nilai-nilai dan cita-cita luhur dari garis hukum tersebut, yang hasilnya dapat disebut sebagai filsafat hukum. Manusia secara kodrati adalah sebagai makhluk individu dan makhluk sosial. Manusia sebagai makhluk individu mempunyai kehidupan jiwa yang menyendiri, namun manusia sebagai makhluk sosial tidak dapat dipisahkan dari masyarakat, tiap manusia mempunyai sifat, watak dan kehendak sendiri. Namun dalam masyarakat manusia mengadakan hubungan satu sama lain, mengadakan kerja sama, tolong-menolong, bantu-membantu untuk memperoleh keperluan hidupnya.

Aturan atau hukum selalu mengalami perubahan dan terus mengalami perubahan yang disesuaikan dengan kemajuan zaman. Untuk itu, suatu negara hukum sangat perlu mengadakan pembangunan terutama di bidang hukum. Mengenai pembangunan hukum ini tidaklah mudah dilakukan. Hal ini disebabkan pembangunan hukum tersebuttidak boleh bertentangan dengan tertib hukum yang lain.

Untuk memenuhi tugas yang diberikan dosen pengampu pada mata kuliah hukum bisnis, maka disusunlah makalah yang sangat sederhana ini. Tulisan ini berisi tentang pengertian hukum, unsur-unsur hukum, ciri-ciri hukum, sumber-sumber hukum, tujuan hukum, alas an mengapa hukum dibuat, bentuk-bentul hukum, jenis hukum secara garis besar, kapan hukum itu berlaku, fungsi hukum dan peristiwa hukum.

1.2. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan tugas makalah ini antara lain:

1. Untuk mengetahui alasan mengapa hukum dibuat dan untuk mengetahui tentang peristiwa hukum.

2. Untuk mengetahui pegertian hukum, unsur-unsur hukum, ciri-ciri hukum, sumber-sumber hukum, tujuan hukum, bentuk-bentuk hukum, jenis hukum secara garis besar, kapan hukum itu berlaku dan fungsi hukum.

3. Untuk memenuhi tugas mata kuliah hukum bisnis.

1.3. Manfaat Penulisan

Adapun manfaat penulisan tugas makalah ini antara lain:

1. Memberikan khasanah pengetahuan dan kajian pustaka bagi pembaca

2. Untuk menambah kajian teori dan pengetahuan bagi pembaca tentang ilmu hukum

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Pengertian Hukum

Menurut E. Utrecht hukum ialah peraturan-peraturan (perintah dan larangan) yang mengurus tata tertib suatu masyarakat dan karena harus ditaati oleh masyarakat tersebut. Defenisi hukum secara umum adalah himpunan peraturan yang dibuat oleh yang berwenang dengan tujuan untuk mengatur tata kehidupan bermasyarakat yang mempunyai ciri memerintah dan melarang serta mempunyai sifat memaksa dengan menjatuhkan sanksi hukuman bagi yang melanggarnya. Pengertian Ilmu Hukum (ada dua pendapat); Pendapat Pertama menyatakan: tidak mungkin defenisi ilmu hukum yang memuaskan, karena hukum itu abstrak, banyak seginya dan luas sekalu cakrawalanya (pendapat Immanuel Kant, Lemaire, Gustav Radbruch, Walter Burckhardt).

Pendapat Kedua menyatakan: tidak memuaskan defenisi hukum tetap harus diberikan karena bagi pemula yang mempelajari hukum tetap ada manfaatnya paling tidak sebagai pegangan sementara (pendapat aristoteles, Hugo de Groot/Grotius, Thomas Hobbes, Van Volen Oven, Bellefroid, Hans Kelsen dan Utrecht).

Menurut Sudiman Kartohadiprojo, hukum itu adalah: suatu yang bersangkutan dengan manusia, dalam keadaan hubungannya dengan manusia lainnya.

Hukum adalah keseluruhan peraturan tentang tingkah laku yang berlaku dalam kehidupan bersama, yang dapat dipaksakan pelaksanaannya dengan suatu sanksi. Tatanan yang diciptakan oleh hukum itu menjadi kenyataan apabila kepada subjek hukum diberi hak dan dibebani kewajiban. Dengan demikian hukum mempunyai arti apabila dapat diterapkan terhadap peristiwa konkret. Konkretisasi hukum menjadi hak dan kewajiban itu terjadi dengan perantaraan peristiwa hukum , yaitu peristiwa mempunyai akibat hukum. Selanjutnya pendukung hak dan kewajiban itu adalah subjek hukum yaitu orang yang dapat terdiri dari manusia pribadi maupun badan hukum.

Hukum diciptakan adalah sebagai suatu sarana atau instrumen untuk mengatur hak-hak dan kewajiban subjek hukum (pendukung hak dan kewajiban) agar masing-masing subjek hukum tersebut dapat menjalankan kewajibannya dengan baik dan mendapatkan haknya secara wajar. Dengan demikian tujuan hukum adalah untuk mengatur masyarakat secara damai dengan cara melindungi kepentingan-kepentingan manusia seperti kehormatan, kemerdekaan, jiwa, harta benda dan sebagainya terhadap yang merugikannya.

    Menurut Prof. Mr. EM. Meyers hukum adalah semua aturan yang mengandung pertimbangan kesusilaan yang ditujukan kepada tingkah laku manusia dalam masyarakat dan yang menjadi pedoman bagi penguasa-penguasa Negara dalam melakukan tugasnya. Kemudian Leon Duguit menyatakan hukum ialah aturan tingkah laku para anggota masyarakat, aturan yang daya penggunaannya pada saat tertentu diindahkan oleh masyarakat sebagai jaminan dari kepentingan bersama dan yang jika dilanggar menimbulkan reaksi bersama terhadap orang yang melakukan pelanggaran itu. Sedangkan Immanuel Kant mengatakan bahwa hukum adalah keseluruhan syarat-syarat yang dengan ini kehendak bebas dari orang satu yang dapat menyesuaikan diri dengan kehendak bebas orang lain, menuruti peraturan hukum tentang kemerdekaan.

2.2. Unsur-Unsur Hukum

Unsur-unsur hukum adalah peraturan tingkah laku manusia yang diadakan oleh badan resmi, bersifat memaksa, terdapat sanksi tegas bagi pelanggarnya.

Terdapat tiga unsur hukum, yaitu:

1. Adanya sanksi yang tegas

2. Peraturan tersebut dibuat oleh yang berwenang

3. Peraturan yang mengatur tingkah laku

Disamping itu unsur-unsur hukum (Gegevens Van Het Recht) terdiri dari unsur yaitu idiel dan riel.

1. Dikatakan unsure idiel, karena hal tersebut terletak dalam bidang yang sangat abstrak yang tidak dapat diraba dengan panca indera, namun kehadirannya dapat dirasakan. Unsur ini terdapat dalam diri setiap pribadi manusia, yang terdiri dari: unsur cipta; harus diasah yang dilandasi logika dari beraspek kognitif. Unsur ini mengahasilkan ilmu tentang pengertian. Unsur karsa; harus diasah yang dilandasi etika dan beraspek konatif. Unsur rasa; harus diasah yang dilandasi estetika dan beraspek afektif.

2. Sedangkan unsur riel terdiri dari manusia, alam dan kebudayaan yang akan melahirkan ilmu tentang kenyataan. Unsur ini mencakup aspek ekstern sosial dalam pergaulan hidup dalam masyarakat.

Setelah melihat defenisi-defenisi hukum tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa hukum itu meliputi beberapa unsur, yaitu:

1. Peraturan itu diadakan oleh badan-badan resmi yang berwajib

2. Peraturan itu bersifat memaksa

3. Peraturan mengenai tingkah laku manusia dalam pergaulan masyarakat

4. Sanksi terhadap pelanggaran peraturan tersebut adalah tegas

2.3. Ciri-Ciri Hukum

Terdapat dua ciri-ciri hukum antara lain:

1. Adanya perintah dan larangan

2. Apabila dilanggar akan dikenakan sanksi

Menurut C.S.T. Kansil, S.H., ciri-ciri hukum adalah sebagai berikut:

1. Terdapat perintah dan/atau larangan

2. Perintah dan/atau larangan itu harus dipatuhi setiap orang

Setiap orang berkewajiban untuk bertindak sedemikian rupa dalam masyarakat, sehingga tata-tertib dalam masyarakat itu tetap terpelihara dengan menentukan dan mengatur perhubungan orang yang satu dengan yang lainnya, yakni peraturan-peraturan hidup bermasyarakat yang dinamakan dengan “Kaedah Hukum”. Barang siapa yang dengan sengaja melanggar suatu “Kaedah Hukum” akan dikenakan sanksi (sebagai akibat pelanggaran “Kaedah Hukum”) yang berupa “hukuman”.

Adapun ciri-ciri hukum:

1. Ada sanksi bagi pelanggarnya

2. Dapat berlaku bagi setiap kalangan tertentu

3. Bersifat mengikat, tegas dan bahkan memaksa

4. Adanya perintah dan larangan

2.4. Sumber-Sumber Hukum

Sumber hukum adalah segala sesuatu yang menimbukan aturan-aturan yang mengikat dan memaksa, sehingga apabila aturan-aturan itu dilanggar akan menimbulkan sanksi yang tegas dan nyata bagi pelanggarnya. Yang dimaksud dengan segala sesuatu adalah faktor-faktor yang berpengaruh terhadap timbulnya hukum, faktor-faktor yang merupakan sumber kekuatan berlakunya hukum secara formal artinya dari mana hukum itu ditemukan, dari mana asal mulanya hukum, di mana hukum dapat diari atau hakim menemukan huku, sehingga dasar putusannya dapat diketahui bahwa suatu peraturan tertentu mempunyai kekuatan mengikat atau berlaku dan lain sebagainya.

Sumber-hukum dapat ditinjau dari segi material dan segi formal.

1. Sumber-sumber hukum formal, antara lain adalah: Undang-Undang (statute). Adalah suatu peraturan negara yang mempunyai kekuatan hukum mengikat, diadakan dan dipelihara oleh negara.

2. Sumber-sumber hukum material, dapat ditinjau dari berbagai sudut misalnya dari sudut ekonomi, sejarah, sosiologi, filsafat dan sebagainya.

Sumber-sumber hukum adalah kenyataan-kenyataan yang menimbulkan hukum yang berlaku dan mengikat setiap orang. Sumber hukum dapat dibedakan menjadi:

1. Sumber hukum dalam arti material

Yaitu faktor-faktor/kenyataan-kenyataan yang turut menentukan isi dari hukum. Isi hukum ditentukan oleh dua faktor, yaitu:

- Faktor idiel yaitu faktor yang berdasarkan kepada cita-cita masyarakat akan keadilan

- Faktor sosial masyarakat, antara lain:

• Tata hukum negara lain

• Agama dan kesusilaan

• Kesadaran hukum

• Struktur ekonomi

• Kebiasaan-kebiasaan

Sumber hukum dapat dibagi atas dua yaitu: Sumber Hukum Materiil dan Sumber Hukum Formal. Sumber Hukum Materiil yaitu faktor-faktor yang membantu isi dari hukum itu, ini dapat ditinjau dari segi sejarah, filsafat, agama, sosiologi dan lain-lain. Sedangkan Sumber Hukum Formal, yaitu sumber hukum yang dilihat dari cara terbentuknya hukum, ada beberapa bentuk hukum yaitu Undang-Undang, yurisprudensi, kebiasaan, doktrin, traktat.

Menurut Algra sebagaimana dikutip oleh Sudikno (1986: 63), membagi sumber hukum menjadi dua yaitu sumber hukum materiil dan sumber hukum formal.

a. Sumber Hukum Materiil, ialah tempat dimana hukum itu diambil. Sumber hukum materiil ini merupakanfaktor yang membantu pembentukan hukum, misalnya hubungan sosial politik, situasi sosial ekonomi, pandangan keagamaan dan kesusilaan, hasil penelitian ilmiah, perkembangan internasional, keadaan geografis. Contoh: seorang ahli ekonomi akan mengatakan bahwa kebutuhan-kebutuhan ekonomi dalam masyarakat itulah yang menyebabkan timbulnya hukum. Sedangkan bagi seorang ahli kemasyarakatan (sosiolog) akan mengatakan bahwa yang menjadi sumber hukum ialah peristiwa-peristiwa yang terjadi di dalam masyarakat.

b. Sumber Hukum Formal, ialah tempat atau sumber dari mana suatu peraturan memperoleh kekuatan hukum. Ini berkaitan dengan bentuk atau cara yang menyebabkan peraturan hukum itu berlaku secara formal.

Van Apeldoorn dalam R. Soeroso (2005:118), membedakan empat macam sumber hukum, yaitu:

a. Sumber hukum dalam arti filosofis, dibagi menjadi dua yaitu:

o Sumber isi hukum, disini ditanyakan isi hukum itu asalnya dari mana. Ada tiga pandangan yang mencoba menjawab tantangan pertanyaan ini yaitu:

- Pandangan teoritis, yaitu pandangan bahwa isi hukum berasal dari Tuhan

- Pandangan hukum kodrat, yaitu pandangan bahwa isi hukum berasal dari akal manusia

- Pandangan mazhab historis, yaitu pandangan bahwa isi hukum berasal dari kesadaran hukum

o Sumber kekuatan mengikat dari hukum, mengapa hukum mempunyai kekuatan mengikat, mengapa kita tunduk pada hukum. Kekuatan mengikat dari kaedah hukum bukan semata-mata didasarkan pada kekuatan yang bersifat memaksa, tetapi karena kebanyakan orang didorong oleh alasan kesusilaan atau kepercayaan.

b. Sumber hukum dalam arti formal, yaitu sumber hukum yang dilihat dari cara terjadinya hukum positif merupakan fakta yang menimbulkan hukum yang berlaku yang mengikat hakim dan masyarakat. Agar dapat berupa peraturan tentang tingkah laku harus dituangkan dalam bentuk Undang-Undang, kebiasaan dan traktat atau perjanjian antar negara.

Marhaenis (1981:46), membedakan sumber hukum menjadi dua yaitu sumber hukum ditinjau dari filosofis idiologis dan sumber hukum dari segi yuridis.

- Sumber hukum filosofis idiologis, ialah sumber hukum yang dilihat dari kepentingan individu, nasional atau internasional sesuai dengan falsafah dan idiologi (way of life) dari suatu nrgara seperti liberalisme, komunisme, leninisme, Pancasila.

- Sumber hukum yuridis, merupakan penerapan dan penjabaran langsung dari sumber hukum segi filosofis idiologis, yang diadakan pembedaan antara sumber hukum formal idiologis, dan sumber hukum materiil.

c. Sumber hukum dalam arti sejarah, yaitu tempat kita dapat menemukan hukumnya dalam sejarah atau dari segi historis. Sumber hukum dalam arti sejarah ini dibagi menjadi dua yaitu:

o Sumber hukum yang meruupakan tempat pembentukan Undang-Undang mengambil bahannya

o Sumber hukum yang merupakan tempat dapat diketemukan atau dikenalnya hukum secara historis, dokumen-dokumen kuno, lontar dan sebagainya.

d. Sumber hukum dalam arti sosiologis (teleologis) merupakan faktor-faktor yang menentukan isi hukum positif, seperti misalnya keadaan agama, pandangan agama dan sebagainya.

2. Sumber hukum dalam arti formal

Mengkaji kepada prosedur atau tata cara pembentukan suatu hukum atau melihat kepada bentuk lahiriah dari hukum yang bersangkutan, yang dapat dibedakan secara tertulis dan tidak tertulis. Contohnya:

- Hukum yurisprudensi

- Hukum doktrin

- Hukum traktat/perjanjian

- Hukum perundang-undangan

Sumber hukum dalam arti formal yang tidak tertulis contohnya adalah hukum kebiasaan.

Read more: http://www.emakalah.com/2013/01/makalah-hukum.html#ixzz3ExbSHwpG

 

PENUTUP

Hukum adalah keseluruhan peraturan tentang tingkah laku yang berlaku dalam kehidupan bersama, yang dapat dipaksakan pelaksanaannya dengan suatu sanksi. Tatanan yang diciptakan oleh hukum itu menjadi kenyataan apabila kepada subjek hukum diberi hak dan dibebani kewajiban. Dengan demikian hukum mempunyai arti apabila dapat diterapkan terhadap peristiwa konkret. Konkretisasi hukum menjadi hak dan kewajiban itu terjadi dengan perantaraan peristiwa hukum , yaitu peristiwa mempunyai akibat hukum. Selanjutnya pendukung hak dan kewajiban itu adalah subjek hukum yaitu orang yang dapat terdiri dari manusia pribadi maupun badan hukum.

Hukum diciptakan adalah sebagai suatu sarana atau instrumen untuk mengatur hak-hak dan kewajiban subjek hukum (pendukung hak dan kewajiban) agar masing-masing subjek hukum tersebut dapat menjalankan kewajibannya dengan baik dan mendapatkan haknya secara wajar. Dengan demikian tujuan hukum adalah untuk mengatur masyarakat secara damai dengan cara melindungi kepentingan-kepentingan manusia seperti kehormatan, kemerdekaan, jiwa, harta benda dan sebagainya terhadap yang merugikannya.

 Oleh karena itu kami mengharapkan kesadaran hukum di Negara kita cercinta ini dapat terlaksana dengan baik. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca terutama bagi penulis. Akhir kata saya ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya

Read More